数制与编码

主要参考《CHAPTER1 数制与编码》课件。页码均采用原课件页序；相关概念的适用条件与表述辨析见各节说明。

1. 本章内容与知识联系

数字电路通常以低电平与高电平表示两种逻辑状态。将两种状态分别记为 0 和 1，即构成二值符号系统。负数、字符与数制等意义由位串的解释规则确定。例如，寄存器中存储 01000001，按无符号数解释是 65，按 ASCII 解释是字符 A；存储的物理状态可以完全相同。

本章各部分以“表示规则、计算方法、适用条件”三个方面相互联系。计算结果的解释须同时考虑位宽、符号约定与进位规则。格雷码的相邻性是第二章卡诺图排列的基础；BCD 的非法码组则为后续逻辑设计中的输入约束提供典型实例。

2. 基数、数码与位权

对应课件第 2–18 页。

十进制的 666 中，三个 6 的写法相同，贡献却分别是 600、60、6。数码本身只给出系数，所在位置给出倍率，这个倍率称为位权。位置计数法以数码表示相应单位的个数，并以数位位置确定单位的大小。

基数为 b 的计数制使用 b 个数码，数码的数值范围为 0 到 b−1。个位的位权为 b⁰=1，向左每移动一位乘 b，向右每移动一位除以 b。小数点左边第一位的位号为 0，右边第一位的位号为 −1。因此，基数决定进位规则，位置决定位权，数码决定该位取几个单位。

n 位无符号整数共有 bⁿ 种不同位串，最小值为 0，最大值为 bⁿ−1。例如 8 位二进制无符号数的范围是 0–255。该范围以“整数”和“无符号”为前提：若有小数位，或者最高位采用补码的负位权，范围必须重新计算。

3. 进制转换方法与精度

对应课件第 19–30 页。

3.1 任意进制到十进制：按权展开

任意进制数转换为十进制数，可直接按位权展开：将各数码的数值与对应位权相乘后求和。例如 (10110.101)₂=16+4+2+1/2+1/8=22.625。零位的贡献为零，可以不写，但不能因此改变其他位的位置。

手工计算时，可逐位标出位权，含连续零的小数尤其需要核对数位位置。核对结果也有直接方法：五位二进制整数必定小于 32；二进制小数部分必定小于 1。若结果不满足这些边界，往往是位号错位或漏掉小数点。

3.2 十进制整数到 b 进制：除 b 取余，倒序读取

整数 N 可以唯一写成 N=bq+r，且 0≤r<b。r 为个位数码，q 对应其余高位部分。对 q 再做相同操作，便依次得到从低位到高位的数码。因此，短除法按低位到高位的顺序产生余数，最终表示应按余数产生的逆序书写。

3.3 十进制小数到 b 进制：乘 b 取整，顺序读取

对 0≤f<1，乘 b 后得到 bf=a₋₁+f₁。整数部分 a₋₁ 是小数第一位，因为它原本乘的是 b⁻¹；把这一位去掉，再乘 b，得到第二位。每次乘基数均使下一小数位移至整数部分，因此各小数位按由高到低的顺序产生，按产生顺序书写。

3.4 小数表示的有限性与量化误差

十进制的有限小数不一定是二进制有限小数。把一个有理数约成最简分数 p/q，它能在 b 进制中有限表示，当且仅当 q 的所有质因子均为 b 的质因子。因为有限的 b 进制小数一定可写成整数除以 bᵐ；反之，若 q 能整除某个 bᵐ，该数即可表示为 m 位 b 进制小数。二进制基数只有质因子 2，所以分母约分后只能含 2；1/10 的分母有 5，故 0.1 的二进制表示会循环。

保留 m 位二进制小数，相邻可表示数之间的间隔是 Δ=2⁻ᵐ。对正数直接截断相当于向下选格点，其误差满足 0≤x−x̂<2⁻ᵐ；对带负号的绝对值截断再还原负号，则向零逼近，绝对误差仍小于 2⁻ᵐ。若按最近值舍入，绝对误差不超过 2⁻⁽ᵐ⁺¹⁾。一般 b 进制的对应界分别是 b⁻ᵐ 与 b⁻ᵐ/2。

4. 二进制、八进制、十六进制与基本运算

对应课件第 31–39 页。

4.1 二、八、十六进制之间的分组转换

因为 8=2³，16=2⁴。三个二进制位恰好能表达八种状态，四个二进制位恰好能表达十六种状态。将二进制以小数点为界分组，相当于把三个或四个连续的二次幂位权合并成一个更大的位权。这个方法适用于基数有整幂关系的情况，二进制与十进制之间不具备这种整幂关系，因而不能直接使用相同的分组方法。

八进制和十六进制之间可以经由二进制中转。例如 (5A.B)₁₆→0101 1010.1011₂→001 011 010.101 100₂→(132.54)₈。此处的空格只是分组提示，不是运算符。

4.2 二进制的基本算术运算

二进制加法“逢二进一”。0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10；若再有来自低位的进位，1+1+1=11。每一列都要同时处理本位结果和向高位的进位。减法“借一当二”：本位的 0 不够减 1 时，从高位借一个单位，它在本位等于两个单位。

对不截位的无符号数，左移一位相当于乘 2。若实际存储只有固定位数，左移会丢弃最高位；对含符号的数，移位还涉及符号扩展及舍入，所以“左移一定等于乘 2、右移一定等于除 2”要带条件。硬件能够复用加法器和移位电路完成多种算术运算，分析时须区分数学中的任意精度运算与固定位宽下的机器运算。

5. 带符号整数的编码与表示范围

对应课件第 40–50 页。

“−5 的补码为 1011”这一表述以总位数为四位为前提。四位补码的 −5 是 1011，八位补码则是 11111011。编码规则和位宽共同决定意义。本节把 n 定义为包含最高位在内的总位数，讨论整数。最高位通常称为符号位，但在补码中，它还承担 −2ⁿ⁻¹ 的位权，其数值作用须与其余各位一并考虑。

5.1 原码表示

原码用最高位 0 表示非负、1 表示负，其余 n−1 位按普通二进制写绝对值。四位原码 +5 为 0101，−5 为 1101。这个规则直观，但 +0=0000 与 −0=1000 两种位串表示同一个数；正负数相加也不能直接把符号位当普通数位一起相加。

5.2 反码表示

正数反码等于原码。求负数反码，可以先把其绝对值写成 n 位正数，再逐位把 0、1 交换。例如 +5 的四位形式 0101 取反得到 −5 的反码 1010。等价地，从负数原码出发只取反数值位，保持符号位为 1。反码仍有 +0=0000 与 −0=1111。

在不溢出的前提下，反码可用普通二进制加法相加，但最高位产生的进位要回加到最低位，称为循环进位。例如用五位反码计算 14−5：14=01110，−5=11010，相加为 1 01000，再把左边进位 1 加到末位得 01001，即 9。回加步骤和双零使这种表示不如补码便于统一实现。

5.3 补码表示

对可表示的负整数 −a，先把正整数 a 写成 n 位，再全部位取反，最低位加 1，只保留 n 位。四位中 +5=0101→取反 1010→加一 1011，所以 −5 的补码为 1011。从负数原码 1101 出发的“符号位保持、数值位取反加一”也能得到同样结果，但后者不便处理最小负数，因此模运算定义能统一说明包括最小负数在内的全部情况。

6. 补码的模运算解释与算术运算

对应课件第 43–57 页；补充模运算与定点解释，统一总位数约定。

6.1 模 2ⁿ：机器只保留最后 n 位

以钟表的 12 个刻度为例：从 10 点往回 5 格与往前 7 格都到 5 点，因为 −5 与 +7 相差一个整圈 12。n 位二进制存储可用模 M=2ⁿ 的循环系统描述；只保留低 n 位，就相当于对 M 取模。例如四位中 1111+0001 的精确结果是 10000，保留低四位得到 0000。

取反加一可以由模运算直接推导。对 a 的 n 位二进制取反，得到 M−1−a；再加一得到 M−a，恰好与 −a 模 M 同余。因此，两个数的补码直接相加再取模，等价于真实整数和取模。若真实和仍在有符号表示范围内，按补码解读低 n 位就得到正确真值；若超出范围，位串仍会产生，但不能代表真实和。

6.2 负补码的解码与最小负数

解码一个负补码可以用“无符号值减 M”，也可以对位串全部取反加一求绝对值。例如八位 11100110 的无符号值为 230，230−256=−26。四位 1000 的无符号值为 8，8−16=−8。它不是额外随意塞进来的数，而是负位权解释和模系统的自然结果。

四位中 −8 的相反数 +8 超过最大值 +7。因此，对 1000 取反加一仍得到 1000，这表示“取负操作发生了溢出”，不能由此推断 −8=+8。最小负数无法在相同位宽的原码中表示；若一定要写它的原码，需要扩展位宽。

6.3 例题：四位补码计算 2−5 与 5−2

6.4 二进制点：用整数编码表示定点小数

若约定 n 位中的低 f 位属于小数，就把整个 n 位补码先当整数解码，再乘 2⁻ᶠ。二进制点的位置由设计约定，并不需要在存储位中真的放一个“点”。此时最小间隔为 2⁻ᶠ，范围为 −2ⁿ⁻¹⁻ᶠ 到 2ⁿ⁻¹⁻ᶠ−2⁻ᶠ。比如总共 5 位、其中 2 位小数，范围为 −4 到 3.75。

6.5 补码的符号扩展

把四位 −3=1101 扩成八位时，要复制最高位，得到 11111101，其无符号值 253 减 256 仍为 −3。若错误地左补 0 得到 00001101，结果将变为 +13。正补码扩展在左边补 0，负补码扩展在左边补 1，这一过程称为符号扩展。定点表示若增加小数精度，则在最右边补 0，保持二进制点的原有意义。

7. 最高进位与有符号溢出

对应课件第 55–58 页。

有符号溢出是“真实数学结果超出当前有符号范围”。四位补码范围为 −8…+7，5+7=12 无法表示；硬件留下 1100，按补码解读是 −4，这个 −4 是环绕后的值。该位串仍是模运算的结果，但无法表示真实数学结果。增加到五位后，00101+00111=01100，便可正确表示 12。

7.1 有符号溢出的判定方法

1. 范围判据：用足够精度计算真实结果，检查是否落在 [−2ⁿ⁻¹,2ⁿ⁻¹−1]。这是最直接的定义，也最适合手算复核。
2. 符号判据：加法中，同号操作数相加而结果异号，才溢出；异号相加不会溢出。减法 A−B 中，A、B 异号且结果符号不同于 A 时溢出。同号减法不会溢出。
3. 进位判据：补码加法的符号位进位输入 C_in 与进位输出 C_out 不相等时溢出，即 V=C_in⊕C_out。减法用 A+按位取反(B)+1 的加法电路判断。

例如四位 5+7 中，低三位 101+111=1100，向符号位输入的进位为 1；符号位计算 0+0+1=1，没有向更高位输出进位，所以 V=1⊕0=1。−3+2 中，低三位 101+010=111，进位输入为 0；最高位 1+0=1，进位输出也为 0，所以 V=0。

7.2 例题：四位补码计算 −6−3

8. 反射格雷码

对应课件第 59–67 页。

编码是把信息与位串建立约定的对应关系。自然二进制码按二进制位权表示整数，它计算方便，但相邻整数的位串可能有多位变化：7=0111 到 8=1000，四位都改变。实际电路不可能让所有位绝对同步变化，在过渡瞬间可能读到中间状态。

本课使用二进制反射格雷码。其按序相邻的两个码字仅有一位不同；首尾也只差一位。两个位串不同位置的数目称为汉明距离，因此相邻格雷码的汉明距离为 1。注意“相邻”指码表中的顺序相邻，并非任意两个格雷码都相差一位；格雷码也不能直接用 8、4、2、1 加权来读数。

8.1 反射构造法

一位格雷序列为 0、1。构造两位序列时，将原序列顺序排列并在每项前加 0，得到 00、01；将原序列逆序排列并在每项前加 1，得到 11、10；两部分合并为 00、01、11、10。对三位重复操作：前半为 000、001、011、010，后半为 110、111、101、100。中间连接处只有新增的最高位变化，首尾也具有这一性质。

8.2 自然二进制与格雷码转换

异或 ⊕ 的规则是相同为 0、不同为 1。前向转换取原二进制的相邻两位异或；反向转换必须使用已经恢复出的上一位二进制，从最高位逐位向右进行。两组公式形式相近，但所用二进制位的来源不同。

9. BCD：逐位编码十进制数字

对应课件第 68–80 页。

BCD 是“二进制编码的十进制”，它不是把整个十进制整数转成自然二进制，而是对每个十进制数字分别分配一个四位码组。用 4 位表示 0–9 是因为三位只有 8 种状态，不够表示十种数字；四位有 16 种状态，因此选用 10 个、留下 6 个不用。不同 BCD 规则会选用不同码组。

9.1 8421 BCD：每个码组内部按位权读一位数字

8421 BCD 的四位权为 8、4、2、1，0–9 依次使用 0000 到 1001。1010 到 1111 是非法码组，不能把它们当成合法的一位十进制数字。比如十进制 59 的 8421 BCD 为 0101 1001；整个数的自然二进制却是 111011。BCD 的位数较多，但方便按十进制数字处理、显示。

9.2 BCD 加法及加 6 修正

一个四位二进制码组的自然进位模数为 16，而十进制数字的进位模数为 10，两者差 6。设某一十进制位的两个数字及来自低位的十进制进位之和为 s，则 0≤s≤19。若 s≤9，原始二进制和已经是合法 BCD，不修正。若 s≥10，需要个位显示 s−10、向高位进 1；对原始和加 6，正好把“减 10”转成“模 16 后留下 s−10”。

9.3 BCD 减法：借位后减 6

如果直接以四位二进制码组做减法，借一个高位相当于借来 16，而十进制借位应当只借来 10，因而借位后本位多了 6，需减去 0110 修正。逐位十进制借位过程可作为各码组二进制修正结果的复核依据。

10. Aiken 2421 码与余 3 码

对应课件第 69–73、81–84 页。

10.1 Aiken 2421 码的定义与性质

2421 码四位的权依次为 2、4、2、1。由于有两个权为 2 的位置，仅给定权还不能保证唯一编码；比如 2 可由 0010 或 1000 加权得到。本课采用课件中的 Aiken 2421 码，明确选择下表的十个码组。0–4 使用 0000 至 0100，5–9 使用 1011 至 1111；中间的 0101 至 1010 不使用。

例如十进制数字 7 的码组为 1101，按 2、4、2、1 加权为 2+4+0+1=7。把这个码组逐位取反得到 0010，恰好是数字 2=9−7 的码。0 与 9、1 与 8、2 与 7、3 与 6、4 与 5 的编码互为按位反，因此称为自补码。此处的“补”表示逐十进制数字的 9 补关系，应与固定字长二进制整数的补码概念区分。

10.2 余 3 码的定义与自补性

十进制数字 d 的余 3 码，是 d+3 的四位自然二进制表示。例如 0→0011，5→1000，9→1100。因此解码时先把四位当无符号数读出，再减 3。合法码组从 0011 到 1100。余 3 码不是普通的 8421 有权 BCD：虽然码组由自然二进制规则生成，但它所代表的十进制数字比其无符号值少 3。

它同样自补：对 d+3 的四位取反得 15−(d+3)=12−d，而数字 9−d 的余 3 码无符号值为 (9−d)+3=12−d，二者相同。因此 2 的余 3 码 0101 取反是 1010，对应数字 7。

10.3 余 3 码加法修正：无进位减 3，有进位加 3

设单个十进制位相加，包括低位进位后的真值和为 s。两个输入码组已各自多加 3，原始二进制和便是 s+6。若 s<10，原始和小于 16，没有四位进位；目标余 3 码应为 s+3，所以原始和减 3。若 s≥10，原始和至少 16，产生进位；低四位为 s+6−16=s−10，目标个位余 3 码应为 s−10+3，因此低四位加 3。进位作为普通的十进制进位值 1 加入高位运算，不是把 0001 直接当成一个余 3 码数字。

11. ASCII 字符编码

对应课件第 85–86 页。

计算机还需要表示字母、数字字符、标点、空格和控制符。ASCII 给 128 个字符分配了 7 位代码。一个字符的编码值只是约定的编号，与该字符所表示的数值概念不同。字符 '5' 的 ASCII 值为 53，七位为 0110101；数值 5 的自然二进制是 101，8421 BCD 为 0101。三者都能在数字系统中出现，但服务于不同目标。

课件提到在七位 ASCII 左边加一位奇偶校验位，这是一种传输方案；八位存储也可以仅在高位补零，具体含义由协议决定。不能仅凭八位存储宽度认定最高位必然用作校验。ASCII 的字符范围不包含汉字，更广泛的字符表示需要其他字符集与编码规则。

12. 奇偶校验编码

对应课件第 87–90 页。

传输过程中，某个位可能从 0 翻成 1，或从 1 翻成 0。若所有位串都能表示有效信息，接收端可能无法知道传输是否出错。校验编码通过引入冗余，使接收端能够检查所接收的位串是否满足约定约束。单个奇偶校验位不增加原始信息内容，而是增加一个用于检错的约束条件。

12.1 编码与检查规则

偶校验要求信息位加校验位中，1 的总数为偶数；奇校验要求总数为奇数。约定信息位为 d₀…dₖ₋₁，校验位为 p，用异或表示：

12.2 检错范围与纠错能力的限制

每翻转一个位，总体奇偶性就改变一次，因此任意奇数个不同位置的位发生翻转都会被发现，包括校验位本身发生错误；任意偶数个不同位置翻转则不改变总体奇偶性，这种校验无法发现。课件用“能发现单错、不能发现双错”说明最常见情况，完整规律是奇数位与偶数位翻转，而不是仅能发现一位错误。

校验失败表明位串不满足约定，但不能定位出错位置。若收到一个不满足偶校验的八位串，翻转其中任意一位都能恢复偶数个 1，候选答案有多个，所以单个奇偶校验位通常没有定位与纠错能力。另一方面，校验通过仅表明约束满足，不能证明数据正确，因为偶数位错误可能漏检。

13. 方法归纳与综合练习

位串的分析应以表示约定为基础，包括编码对象、编码规则、总位数、符号约定、二进制点位置及精度处理方式。只有这些条件明确，数值解读、算术运算与结果验证才具有确定意义。

综合练习

参考来源与学习要求

参考课件《CHAPTER1 数制与编码》：数制与转换第 2–35 页；算术与机器码第 36–58 页；信息编码与格雷码第 59–67 页；BCD、2421 与余 3 第 68–84 页；ASCII 第 85–86 页；可靠性编码第 87–90 页。第 46 页最小负数的解释、第 57 页溢出判据、第 81 页 2421 加法与第 90 页检错范围的适用条件，已在相应小节说明。

本章笔记。本章学习要求包括：解释同一位串在不同规则下的意义；完成补码加减并判断溢出；区分自然二进制、逐位 BCD 编码与字符编码。

第二章：组合逻辑函数 →