# 第二章：组合逻辑函数

> 内容依据：《组合逻辑函数》课件第1—140页，所引页码均指PDF页序。符号约定：`+`表示逻辑或，`·`或相邻书写表示逻辑与，`¬A`、`A′`或 $\overline A$ 表示逻辑非。逻辑运算与二进制算术运算应加以区分。

## 0. 本章内容与学习目标

本章研究二值逻辑变量之间的函数关系，介绍其表示、化简与门级实现方法。逻辑分析与设计的基本流程为：

**明确题意和状态约定 → 列真值表 → 写标准表达式 → 化简 → 用门电路实现 → 验证功能。**

![同一功能的表示与转换](/course-assets/digital-circuits/figures/chapter2-flow.svg)

一个组合电路在输入稳定后，输出只由当前输入决定。单输出写成 $F=f(A,B,C,\ldots)$；多输出要分别写函数。例如加法器有和位与进位，不能只用一列输出描述全部功能。实际电压、电流、传播延迟与毛刺将在第三章讨论；本章以稳态逻辑关系为主要分析对象。

建议依次学习基本逻辑运算、标准表达式、三变量化简，再扩展至四、五变量卡诺图与无关项。各项结论应以相应输入组合、代数定律或卡诺圈为依据。

## 1. 逻辑变量与三种基本运算

对应课件第2—12页。

### 1.1 0、1是状态约定

逻辑变量只有0、1两种取值。它们可以表示关/开、反对/同意、无报警/报警等互斥状态，不表示某个量比另一个量大1。建立函数前，应首先明确各逻辑状态的含义。

例：A=1表示布防，B=1表示门打开，F=1表示报警。“布防且门打开才报警”写成 $F=AB$。如果忘记布防条件，可能误写为 $F=B$，使撤防时也报警。A=0、B=1虽然输出0，仍然是一个必须在真值表中保留的输入组合。

### 1.2 与、或、非

- **与 AND**：全部条件同时成立才成立，$F=AB$。可由串联开关电路说明。
- **或 OR**：至少一个条件成立就成立，$F=A+B$，包含两个都成立。可由并联开关电路说明。
- **非 NOT**：把状态反向，$F=\overline A$。

| A | B | AB | A+B | ¬A |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

![三种基本门](/course-assets/digital-circuits/figures/chapter2-gates.svg)

逻辑加法中 $1+1=1$，不会输出算术二进制的10。与门的0是控制值：输入中只要有0，结果必为0；或门的1是控制值：输入中只要有1，结果必为1。

运算时先处理括号和反号的作用范围，再与，最后或。异或与其他运算混写时主动加括号。$AB+CD$ 与 $(A+B)(C+D)$ 不同；后一式不能省成 $A+BC+D$。

**例：** $F=A(B+\overline C)$，A=1、B=0、C=0。首先计算 $\overline C=1$，再求 $B+\overline C=1$，最后F=1。如果A=0，则不必再算括号内，F已确定为0。

**易错：** $\overline{AB}$ 不等于 $\overline A\,\overline B$。取A=0、B=1，前者1、后者0。长反号对整个组合取反，应保留其作用范围。

## 2. 基本定律与代数化简

对应课件第13—19页、第87—91页。

### 2.1 基本逻辑定律

| 名称 | 与形式/或形式 |
|---|---|
| 0—1律 | $A+0=A$，$A\cdot1=A$；$A+1=1$，$A\cdot0=0$ |
| 重叠律 | $A+A=A$，$AA=A$ |
| 互补律 | $A+\overline A=1$，$A\overline A=0$ |
| 还原律 | $\overline{\overline A}=A$ |
| 交换律 | $A+B=B+A$，$AB=BA$ |
| 结合律 | $(A+B)+C=A+(B+C)$，$(AB)C=A(BC)$ |
| 两种分配律 | $A(B+C)=AB+AC$；$A+BC=(A+B)(A+C)$ |
| 吸收律 | $A+AB=A$；$A(A+B)=A$ |
| 消去形式 | $A+\overline A B=A+B$；$A(\overline A+B)=AB$ |
| 一致项定理 | $AB+\overline A C+BC=AB+\overline A C$ |

注意第二种分配律与重叠律是布尔代数的特征，应遵循布尔代数规则，不能直接套用实数代数的全部结论。

### 2.2 吸收律的证明

$A+AB=A$ 的逻辑解释：A=1时第一项已使输出为1；A=0时AB也为0，所以AB没有增加任何新的输出1。代数证明：

$$A+AB=A\cdot1+AB=A(1+B)=A.$$

A的成立条件比AB宽，因此A吸收AB；反过来通常不成立。

### 2.3 四种代数化简方法

1. **并项**：$AB+A\overline B=A(B+\overline B)=A$。两项只差一个变量极性时，消去该变量。
2. **吸收**：$AB+ABC=AB$。长项的成立组合已被短项覆盖。
3. **消去**：$A+\overline A B=(A+\overline A)(A+B)=A+B$。
4. **配项**：利用 $X=X+X$ 重复一个已有项，以便分别和其他项合并；或利用 $X=X(Y+\overline Y)$ 补变量。配项必须保持函数不变，不能引入改变原函数的条件。

**完整例题：**

$$\begin{aligned}
F&=AB+\overline A C+BC\\
 &=AB+\overline A C+ABC+\overline A BC\\
 &=(AB+ABC)+(\overline A C+\overline A BC)\\
 &=AB+\overline A C.
\end{aligned}$$

第二步把BC乘以 $A+\overline A=1$，最后一步两次吸收。直观解释：BC=1时B=C=1，无论A为0还是1，前两个项之一已经为1，所以BC不独立贡献输出。

BC是该表达式的**稳态冗余项**。在考虑传播延迟时，冗余项仍可能用于消除某些静态险象，是否保留应结合具体电路要求判断。

**代入规则：** 恒等式中的某个变量可以全部替换成同一个逻辑函数。例如 $X+XY=X$ 中令 $X=A+B$、$Y=CD$，得到 $(A+B)+(A+B)CD=A+B$。所有同名变量必须同时、一致地替换。

## 3. 德摩根、反演规则、对偶规则

对应课件第16页、第20—24页。

### 3.1 德摩根定律

$$\overline{AB}=\overline A+\overline B,\qquad \overline{A+B}=\overline A\,\overline B.$$

“不同时满足”即“至少一个不满足”；“一个也不满足”即“都不满足”。多个输入时同理。非号向内推进时，与、或必须互换。

### 3.2 反演：求反函数

求 $\overline F$ 时：

- 与、或互换；
- 0、1互换；
- 每个变量的极性翻转；
- 保持原来的结构和运算层次，必要时补括号。

**例1：**

$$F=AB+C\quad\Rightarrow\quad \overline F=(\overline A+\overline B)\overline C.$$

不能写成 $\overline A+\overline B\overline C$，这会改变层次。可用A=B=0、C=1检验错误。

**例2：**

$$F=\overline A\,\overline B+CD\quad\Rightarrow\quad \overline F=(A+B)(\overline C+\overline D).$$

原有反变量再次取反变为原变量。遇到覆盖多个文字的长反号，应从表达式最外层逐层应用德摩根定律，并保持原有运算层次。

### 3.3 对偶：不翻转变量极性

对偶式记为 $F_D$。只把与、或以及0、1互换，变量及其极性保持不变，并保留结构。

$$F=AB+C\quad\Rightarrow\quad F_D=(A+B)C.$$

对偶式通常不等于反函数。取A=B=C=1，F与 $F_D$ 都是1，但反函数是0。

| 项目 | 反演 | 对偶 |
|---|---|---|
| 与、或 | 互换 | 互换 |
| 0、1 | 互换 | 互换 |
| 原/反变量 | 翻转 | 保持 |
| 与F的关系 | 每行输出反向 | 不保证相同或相反 |

**对偶原理：** 若F=G是恒等式，则两边的对偶也相等。例如由 $A+AB=A$ 得到 $A(A+B)=A$。这减少证明工作，不表示任意函数等于自身对偶。

**练习：** $F=A+B(C+0)$。

- 反函数：$\overline A(\overline B+\overline C\cdot1)$。
- 对偶式：$A(B+C\cdot1)$。

## 4. 复合逻辑与通用门

对应课件第25—36页。

### 4.1 NAND、NOR、AOI

- 与非：$F=\overline{AB}$，仅全部输入1时为0。
- 或非：$F=\overline{A+B}$，仅全部输入0时为1。
- 与或非：先与、再或、整体非，例如 $F=\overline{AB+CD}$。

| AB | NAND | NOR | XOR | XNOR |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 01 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 1 |

### 4.2 与非门的通用性

- 非：$\operatorname{NAND}(A,A)=\overline A$。
- 与：先算 $P=\operatorname{NAND}(A,B)$，再算 $\operatorname{NAND}(P,P)=AB$。
- 或：把A、B分别取非后与非，$\overline{\overline A\,\overline B}=A+B$。

既能构造与、或、非，就能构造任意有限变量的布尔函数。或非门同样可构造三种基本运算。实际构造电路时，应计入产生反变量所需的门电路。

### 4.3 异或与同或

$$A\oplus B=\overline A B+A\overline B,$$

$$A\odot B=AB+\overline A\,\overline B=\overline{A\oplus B}.$$

异或相异为1，同或相同为1。与“至少一个”相比，异或排除了11。

异或的重要性质：

$$A\oplus0=A,\quad A\oplus1=\overline A,\quad A\oplus A=0,\quad A\oplus\overline A=1.$$

异或满足交换、结合律。多个变量异或等于其中1的个数的奇偶性：奇数个1输出1，偶数个1输出0。例如 $A\oplus B\oplus A=B$。

**多输入同或的定义要核对：** 二输入同或连续级联时，三变量 $A\odot B\odot C=A\oplus B\oplus C$，因为两次非抵消；四变量级联则为四变量异或的反。器件资料若把“n输入XNOR”直接定义为n输入XOR的反，则三输入时与上述级联不是同一函数。课件第35页讨论二输入同或连续运算。

### 4.4 异或在校验与编码中的应用

- 偶校验要求数据位和校验位总异或为0。
- B=1011转格雷码：最高位保留，其余相邻二进制位异或，得G=1110。
- 格雷码反转二进制：从最高位开始，下一位二进制等于已恢复的高一位二进制与当前格雷位异或，不能仅对相邻格雷码位逐对异或。

## 5. 真值表、文字描述与波形

对应课件第37—45页、第83—85页。

n个独立二值输入有 $2^n$ 种组合。真值表必须不漏、不重，通常按二进制升序排列。相同变量顺序下，完全规定函数的真值表唯一；表达式可有多种等价形式。

### 5.1 三人多数表决：完整例题

A、B、C表示三人是否同意；F表示是否通过。至少两人同意才通过。

| 编号 | ABC | 同意人数 | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 000 | 0 | 0 |
| 1 | 001 | 1 | 0 |
| 2 | 010 | 1 | 0 |
| 3 | 011 | 2 | 1 |
| 4 | 100 | 1 | 0 |
| 5 | 101 | 2 | 1 |
| 6 | 110 | 2 | 1 |
| 7 | 111 | 3 | 1 |

把输出1各行翻译为“这一行所有条件同时满足”，然后相或：

$$F=\overline A BC+A\overline BC+AB\overline C+ABC=AB+AC+BC.$$

最后一个式子也可直接由“有任意两人同意”得到。若题意改为“恰好两人同意”，必须去掉111这一行，不能再用 $AB+AC+BC$。

### 5.2 波形图的读取

在每一个输入不变化的区间读取A、B等取值，再按真值表计算F。波形图若没有覆盖全部输入组合，就只给出部分功能信息，通常不足以唯一确定完整函数。

![与函数的理想波形](/course-assets/digital-circuits/figures/chapter2-wave.svg)

应首先标明输入状态变化的分界线，再逐区间计算输出。本章图形默认理想无延迟；真实波形的传播延迟在第三章讨论。逻辑语言描述也是同一功能的另一种记法，例如 `F = (A AND B) OR C`，关键仍是布尔关系和操作层次。

## 6. 最小项与标准与或式

对应课件第46—58页。

### 6.1 定义与编号

n变量最小项包含全部n个变量，每个恰好出现一次，且各变量以原或反形式相与。n变量有 $2^n$ 个最小项。

固定变量顺序ABC：输入101编号5，使对应乘积为1，需要 $m_5=A\overline BC$。因此：

> 最小项：编号二进制的1写原变量，0写反变量。

$m_i$ 只在第i行取1，其他行0。不同最小项相与为0，全部最小项相或为1。每项有n个只差一位的逻辑相邻项。

### 6.2 从真值表构造

输出为1的各行对应最小项，将它们相或，称标准与或式或最小项表达式，记为 $\Sigma m(\ldots)$。多数表决函数为：

$$F(A,B,C)=\Sigma m(3,5,6,7).$$

注意变量顺序是编号的一部分。改成CAB后，原来101这一输入在新顺序下要重排，不能保留原编号不动。

### 6.3 标准项的性质及含义

最小项相当于精确地址检测器：每一位都符合指定行，全部与因子才为1。两个不同地址不可能被同一输入同时命中，所以不同最小项相与为0；所有地址穷尽输入空间，所以全部最小项相或为1。

最大项相当于“排除指定地址”的约束：只在指定行所有或因子都为0；偏离任意一位，这个约束就通过。由此理解最大项只在一行0、其余行1，说明了两种标准项采用相反极性编号规则的原因。标准式唯一的前提是变量集合、顺序与完整函数都已固定。

### 6.4 从一般式扩展成标准式

先转成一般与或式，再用 $X=X(Y+\overline Y)$ 补齐每项缺失的变量。

例：$F=AB+C$。

$$AB=AB(C+\overline C)=ABC+AB\overline C.$$

$$C=C(A+\overline A)(B+\overline B)=ABC+A\overline BC+\overline ABC+\overline A\overline BC.$$

合并去重后：

$$F=\Sigma m(1,3,5,6,7).$$

最小项表达式是标准形式，不一定是最简形式。将AB+C扩展成五个最小项是为了形成统一的标准表示，而非减少表达式的项数。

## 7. 最大项与四种编号关系

对应课件第59—72页。

### 7.1 最大项的写法与最小项相反

最大项包含全部变量且每个恰好出现一次，做或运算。它只在编号对应的输入行取0。

输入101要让或项为0，每个文字都必须为0，所以：

$$M_5=\overline A+B+\overline C.$$

> 最大项：编号二进制的0写原变量，1写反变量。

| ABC | mᵢ | Mᵢ |
|---|---|---|
| 000 | A′B′C′ | A+B+C |
| 011 | A′BC | A+B′+C′ |
| 101 | AB′C | A′+B+C′ |
| 111 | ABC | A′+B′+C′ |

同编号的 $m_i$ 与 $M_i$ 互为反函数，即 $\overline{m_i}=M_i$。两个不同最大项相或为1；所有最大项相与为0。

### 7.2 标准或与式

把输出0各行对应的最大项相与，称标准或与式或最大项表达式，记为 $\Pi M(\ldots)$。多数表决：

$$F=\Sigma m(3,5,6,7)=\Pi M(0,1,2,4).$$

### 7.3 一般或与式补成标准式

用第二分配律：$X=(X+Y)(X+\overline Y)$。这与最小项补变量的办法互为对偶。

例F=AB+C先化为(A+C)(B+C)。

- A+C缺B：$(A+B+C)(A+\overline B+C)=M_0M_2$。
- B+C缺A：$(A+B+C)(\overline A+B+C)=M_0M_4$。
- 去重得 $F=M_0M_2M_4=\Pi M(0,2,4)$，与Σm(1,3,5,6,7)编号互补。

### 7.4 标准表达式之间的集合关系

设全集 $U=\{0,\ldots,2^n-1\}$，输出1的编号集合为S：

$$F=\Sigma m(S)=\Pi M(U-S),$$

$$\overline F=\Sigma m(U-S)=\Pi M(S).$$

- **同一函数换标准式**：编号取补集。
- **取反并交换Σm/ΠM**：编号保持。
- **取反但保留Σm或ΠM类别**：编号取补集。

课件第71页例：

$$F(A,B,C,D)=\Sigma m(1,3,5,6,10,11,13).$$

则 $F=\Pi M(0,2,4,7,8,9,12,14,15)$；反函数为 $\Sigma m(0,2,4,7,8,9,12,14,15)=\Pi M(1,3,5,6,10,11,13)$。

以上补集关系默认完全规定函数。含无关项时必须另外保留X集合，不能把X强行当规定0或规定1。

## 8. 表达式、门电路与加法器

对应课件第73—81页。

### 8.1 表达式到逻辑图的转换

$F=AB+\overline A C$：产生A的非；两个与门分别求AB与A′C；末级或门合成。若只有A原信号，需要实际补非门，反变量的产生需要计入相应门电路。

从图分析时给中间节点命名，例如P=AB、Q=A′C，再写F=P+Q，逐层代回，最后说明逻辑功能。这个函数当A=1时F=B，A=0时F=C，因此实现了由A控制的二选一功能。

### 8.2 与非—与非、或非—或非

$$F=P+Q=\overline{\overline P\,\overline Q}.$$

因此与或式适合改成与非—与非：第一层产生各积项的反，第二层再与非恢复原来的或关系。$AB+CD$ 可用两个首级与非门、一个末级与非门实现。

或与式同理适合改成或非—或非。转换依靠德摩根，不是把每个与门机械换成与非门且保持其他门不动。实际还受门输入数、扇出和延迟约束。

### 8.3 四个NAND组成XOR的逐级分析

设P=NAND(A,B)，Q=NAND(A,P)，R=NAND(B,P)，F=NAND(Q,R)。

| AB | P | Q | R | F |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 0 |

因此F=A⊕B。中间节点P依赖A、B，不能作为独立变量另行赋值。门级网络应按信号依赖关系逐层分析。

### 8.4 半加器

输入A、B，输出和S与进位Cout：

$$S=A\oplus B,\qquad C_{out}=AB.$$

11相加得到算术10，所以S=0、Cout=1。半加器不接受低位进位，不能直接替代多位加法中的所有位。

### 8.5 全加器

输入A、B、Cin：

$$S=A\oplus B\oplus C_{in},$$

$$C_{out}=AB+AC_{in}+BC_{in}.$$

和位是奇偶函数，进位是多数函数。例A=1、B=0、Cin=1：算术结果2=10₂；逻辑计算S=0、Cout=1，按权重2×Cout+S=2验证。

## 9. 卡诺图的构造与逻辑相邻

对应课件第92—113页。

卡诺图由真值表重新排列得到，每格对应一个最小项。该排列使仅有一位不同的输入组合形成逻辑相邻关系，以便进行代数合并。

三变量：行A=0、1；列BC=00、01、11、10。

四变量：行AB、列CD都按00、01、11、10。不能按00、01、10、11排，因为01与10差两位。

| AB＼CD | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 0 | 1 | 3 | 2 |
| 01 | 4 | 5 | 7 | 6 |
| 11 | 12 | 13 | 15 | 14 |
| 10 | 8 | 9 | 11 | 10 |

上表数字是最小项编号。行码和列码拼接读成二进制得到编号，不应将图当作顺序填数表。

### 9.1 邻接包括跨边界

- 同行紧邻、同列紧邻可相邻。
- 左右两边首尾相接，上下两边首尾相接。
- 四角能组成四格圈。
- 对角线两格不是相邻。
- 五变量还要考虑格雷反射形成的对应位置关系。

可靠判据：两个编号写成n位二进制，恰好一位不同才逻辑相邻。m5=0101的邻居是m1、m4、m7、m13，共4个。每个n变量最小项有n个邻居。

### 9.2 卡诺图的填写方法

1. 真值表：把对应输出按编号填入。
2. Σm：列出的格填1，其余0；ΠM：列出的格填0，其余1。
3. 一般与项：固定项中出现的变量，未出现的变量自由。例如四变量AB对应AB=11的一整行，共4格。
4. 一般或项：找使该和项为0的所有组合，填0。

四变量中含k个不同文字的非矛盾积项，对应 $2^{4-k}$ 个格；n变量中对应 $2^{n-k}$ 个格。

## 10. 卡诺图求最简与或式

对应课件第114—126页。

### 10.1 原理

$$A\overline BC+ABC=AC(\overline B+B)=AC.$$

两格合并消去1个变化变量；4格消去2个；8格消去3个。卡诺圈用于确定在输出保持为1的条件下，哪些变量可以自由变化。

### 10.2 画圈规则

- 圈1；不能把规定0放入圈。
- 圈的格数只能是1、2、4、8、16等2的幂，按逻辑邻接组成矩形，可跨边界。
- 不能圈任意L形、六格块、对角线；数量正确还不够，必须能对应一个共同积项。
- 规定1必须全部覆盖；允许圈重叠，也允许重复覆盖同一个1。
- 尽量用大圈、少圈。每个必要圈应贡献其他圈未覆盖的1。
- 比较不同覆盖方案时，明确优化顺序：常见标准先项数最少，再总文字数最少。最优形式不一定唯一。

圈1读式：固定0写反变量，固定1写原变量，变化变量消去；每圈是一个积项，最后相或。

### 10.3 主蕴含项、必需项与覆盖选择

不能进一步扩大的合法圈对应主蕴含项。若某个规定1只被一个候选主蕴含项覆盖，这个圈必须选择，称必需项。先选必需项，再比较剩余1的覆盖组合。非必需圈仍可能参加最优方案；各圈都很大也不保证整体项数最少。

独立检查圈是否合法：把圈内编号写成二进制，找共同固定变量，其余自由变量应遍历全部组合。例如放开两位应有00、01、10、11四种组合全部齐全，不能仅依据格数进行合并。

多数函数的配项可以与重叠画圈对应：将ABC重复三次，分别和A′BC、AB′C、ABC′并项，得到BC+AC+AB。允许重复覆盖已有1，不能添加原来为0的新组合。

### 10.4 课件第124页例题

$$F=\Sigma m(0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15).$$

![例题三个卡诺圈](/course-assets/digital-circuits/figures/chapter2-kmap.svg)

1. 所有C=1的8格都是1，读得C，覆盖2、3、6、7、10、11、14、15。
2. 还剩0、4、13未覆盖。0、4可与2、6合成跨左右边界四格圈，共同A=0、D=0，读A′D′。
3. 13与15合成两格圈，共同A=B=D=1，读ABD。

因此：

$$\boxed{F=C+\overline A\,\overline D+ABD}.$$

各项覆盖编号的并集应与原函数的11个规定1完全一致，并且不包含规定0。编号2、6、15允许重复覆盖；已有覆盖不构成禁止再次合并的条件。

## 11. 卡诺图求最简或与式

对应课件第127—130页。

圈0的规则与圈1类似，但读式极性相反：固定0写原变量、固定1写反变量；每圈得到一个和项，最后相与。

这可以理解为：先对反函数圈1得到 $\overline F$ 的与或式，再用德摩根求F。

**完整例题：**

$$F(A,B,C)=\Sigma m(1,3,4,5,7).$$

0格是0、2、6。

- 0与2固定A=0、C=0，所以得到和项A+C。
- 2与6固定B=1、C=0，所以得到和项B′+C。

$$F=(A+C)(\overline B+C)=C+A\overline B.$$

若错用圈1的读法，会得到A′C′与BC′，这是反函数的两个积项，不能直接当作F的或与式。

**工程边界：** 两级最简表达式不保证所有实际指标最优。芯片门输入数、额外反相器、延迟、负载、布线和毛刺都可能改变工程选择。

## 12. 五变量卡诺图

对应课件第98—101页、第107—111页、第126页、第129—130页。

五变量有32格。课件使用4×8排列，依据格雷反射寻找“相重”。也可画成两张四变量图：A=0与A=1；每张用BC作行，DE作列，均按格雷顺序。

![五变量卡诺图的两个平面](/course-assets/digital-circuits/figures/chapter2-five.svg)

跨层相邻只发生在**相同坐标**，因为只有A改变。不能把两张图中任意两个近处格子视为相邻。

例：m3=00011的五个邻居是m1、m2、m7、m11、m19；m19=10011仅改变A。m27=11011则与m3差两位，不相邻。

**四格合并例题：**

$$F(A,B,C,D,E)=\Sigma m(3,7,19,23).$$

二进制编号为00011、00111、10011、10111，共同B=0、D=1、E=1，A与C自由，所以：

$$F=\overline BDE.$$

也可以先在A=0层合并得A′B′DE，在A=1层合并得AB′DE，再消去A。若使用4×8图，某些邻居会在反射对称位置而不是紧挨位置；邻接关系可由编号的二进制表示验证。

## 13. 无关项与未完全规定函数

对应课件第131—135页。

### 13.1 无关项的含义

某些输入保证不会出现，或它们出现时不要求特定输出，可记作X/d。最终实现对这些输入仍输出确定0或1，其输出值可在满足规定输入约束的前提下，按有利于化简的原则选择。

例如合法8421 BCD输入只允许0—9，10—15可作为无关项。但若实际系统要求非法码报警，或没有保证非法码不出现，就不能擅自使用该约束。

一般记作：

$$F=\Sigma m(S)+\Sigma d(D),\qquad S\cap D=\varnothing.$$

这里是分别声明“规定1的集合S”和“无关集合D”，不是把每个d当成规定为1的项直接代入。

### 13.2 使用规则

- 求SOP圈1时，X可加入圈帮助扩大；不帮助时不圈。
- 求POS圈0时，X也可帮助扩大0圈。
- 每个有用圈至少覆盖一个规定目标格，不能仅为了圈X增加项。
- 规定输出必须全部满足；不能把难以覆盖的1擅自改成X。
- 分别得到的SOP和POS可能在X行不同，仍然满足同一设计任务。核验时只要求规定行一致。

### 13.3 BCD四舍五入例题

输入ABCD按8421权重表示一位十进制数；0—4不进位、5—9进位；10—15不规定：

$$F=\Sigma m(5,6,7,8,9)+\Sigma d(10,11,12,13,14,15).$$

- A=1的八格圈：规定1为8、9，其余六格为X，读A。
- B=C=1四格圈：6、7和X的14、15，读BC。
- B=D=1四格圈：5、7和X的13、15，读BD。

$$\boxed{F=A+BC+BD=A+B(C+D)}.$$

核验：4=0100输出0；5=0101输出1；8、9因A=1输出1。非法码输出由具体实现决定，并不等同于非法码报警功能。

### 13.4 课件第134页例题

$$F=\Sigma m(1,2,3,7,8,11)+\Sigma d(6,9,10,12,13).$$

课件给出的一组化简方案：

$$F_{SOP}=\overline AC+A\overline B+\overline BD,$$

$$F_{POS}=(\overline B+C)(\overline A+\overline B)(A+C+D).$$

规定0为0、4、5、14、15；此例两式在全部16行都相等，包括X行：m6=0110两式都输出1，m12=1100两式都输出0，说明X不必全部当成1。

另一个三变量例子能展示X行可不同：$G=\Sigma m(3,4)+\Sigma d(0)$。SOP可取 $\overline ABC+\overline B\,\overline C$，POS可取 $(A+B)(\overline A+\overline C)(\overline B+C)$。在无关项000上，前者1、后者0；在其余规定行一致。这两者都满足原任务。

## 14. 综合自测与参考解析

以下自测题涵盖功能描述、代数变换、卡诺图化简及函数验证。

### 题1：总使能与恰好一个请求

总使能E，自动请求A，手动请求M；E有效且A、M恰好有一个有效才启动。变量顺序EAM。

**参考解析：** $F=E(A\oplus M)=EA\overline M+E\overline AM=\Sigma m(5,6)$。检查111应输出0，防止把异或写成或。

### 题2：代数化简

化简 $A\overline B+AB+\overline AB$。

**参考解析：** 前两项并成A，得到 $A+\overline AB=A+B$。第一步用互补律，第二步用消去形式。

### 题3：反演与对偶

$F=AB+\overline AC$，求反函数与对偶式。

**参考解析：**

$$\overline F=(\overline A+\overline B)(A+\overline C).$$

$$F_D=(A+B)(\overline A+C)=AC+\overline AB.$$

对偶式展开中的BC是一致项，可去掉。F与其对偶一般不相等：A=B=1、C=0时，F=1、对偶0。

### 题4：三变量两种化简

$F(A,B,C)=\Sigma m(0,2,4,6,7)$。

**参考解析：** 0、2、4、6圈为C′；6、7圈为AB，SOP为 $\overline C+AB$。0格1、3、5分别合并1、3及1、5，POS为 $(A+\overline C)(B+\overline C)$。两式由第二分配律相等。

### 题5：四角合并

$F(A,B,C,D)=\Sigma m(0,2,8,10)$。

**参考解析：** 编号0000、0010、1000、1010共同B=0、D=0，故 $F=\overline B\,\overline D$。在四变量卡诺图上是四角组成同一个四格圈。

### 题6：无关项

$F(A,B,C)=\Sigma m(1,3)+\Sigma d(5,7)$。

**参考解析：** 借助两个X把1、3、5、7合为C=1四格圈，得F=C。若不使用X，只能把规定1合成A′C；两式在规定行一致，在5、7可以不同。

### 题7：全加器的两类输出

A=B=Cin=1时S与Cout是什么？为何S不能直接用三输入或？

**参考解析：** 三个1相加为3=11₂，所以S=1、Cout=1。取110可看出区别：XOR和位0，OR输出1。仅在输入111时结果相同，不能说明两个函数等价。

### 题8：标准式与反函数

$F(A,B,C)=\Sigma m(1,2,4,7)$，求F的最大项式和反函数两种标准式。

**参考解析：**

$$F=\Pi M(0,3,5,6),$$

$$\overline F=\Sigma m(0,3,5,6)=\Pi M(1,2,4,7).$$

### 题9：五变量邻接

m3与m27是否相邻？m3的全部邻居是什么？

**参考解析：** 00011与11011差两位，不相邻。翻转00011五个位之一，得到10011=19、01011=11、00111=7、00001=1、00010=2。

## 15. 常见错误与验证方法

| 易错点 | 正确检查方式 |
|---|---|
| 把逻辑或当算术加法 | 看1+1：逻辑为1、算术为10₂ |
| 把“至少一个”当“恰好一个” | 重点检查11输入 |
| 反号范围丢失 | 显式写括号或从最外层德摩根展开 |
| 对偶时把变量取反 | 对偶仅换运算和常量 |
| 最大项极性套用最小项 | m使指定行1；M使指定行0 |
| Σm/ΠM转换忘补集 | 先列输出1集合S与全集U |
| 卡诺图按二进制顺序排 | 行列用00、01、11、10 |
| 忽略跨边界 | 检查左右、上下和四角 |
| 用对角线、L形、六格圈 | 检查是否固定共同变量且其余组合齐全 |
| 拒绝重复覆盖 | 允许重叠，所有规定目标格覆盖即可 |
| 圈0仍按圈1读极性 | 圈0固定0写原变量、固定1写反变量 |
| 五变量跨层乱合并 | 仅同位置跨层只改一个变量 |
| X全部强制1 | 仅在有利时使用，最终输出由电路确定 |
| 只验证一个输入组合 | 完全规定逐行验证；含X只对规定行强制一致 |

建立函数前应明确：输入/输出、变量顺序、0/1含义、合法范围。求解后应验证：全0、全1、边界行、每一个规定输入；若有真值表，可通过逐行比较验证稳态等价性。

**后续内容：** 第三章讨论加法器、译码器、数据选择器等模块的组合应用，并分析电气兼容性、负载能力、传播延迟及险象。逻辑功能正确是工程实现的必要条件，还需满足相应电气与时序要求。

## 来源定位

- 2—12页：逻辑变量、基本运算及表达式。
- 13—24页：定律、代入、反演与对偶。
- 25—36页：复合门、异或、同或、格雷码联系。
- 37—45页：真值表、表决电路、基本表达式。
- 46—72页：最小项、最大项、标准式及相互关系。
- 73—85页：逻辑图、半/全加器、波形与语言。
- 86—91页：代数化简。
- 92—130页：卡诺图构造、邻接、3—5变量及SOP/POS化简。
- 131—135页：无关项及化简。
- 136—140页：综合例题，可在掌握上述方法后回到原课件练习。

两级表达式的化简可采用项数优先、文字数次优先的准则，通过合法子立方体枚举与精确覆盖求解；最优表达式不一定唯一。